第73页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

$\sqrt{5}-1$

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解：如图，连接$AC$

$ ∵CF⊥AE$

$ ∴∠AFC=90°$

∴图中出现了“定长$(\mathrm {AC})$对直角$(∠AFC)”$模型

∴点$F$的运动路径为以$AC$为直径的半圆.

当点$E$位于点$B$时，$CO⊥AE，$此时点$F$与点О重合；

当点$E$位于点$D$时，$CA⊥AE，$此时点$F$与点$A$重合

∴当点$E$从点$B$出发按顺时针方向运动到点$D$时，点$F$所经过的路径长是${\widehat{AO}}$的长

连接$AG，$∵点$G$的坐标为$(0，$$1)$

$ ∴OG=1$

$ ∵AG=CG=2$

∴在$Rt△AOG $中，$AO=\sqrt {{2}^2-{1}^2}=\sqrt {3}$

∴在$Rt△AOC$中，$AC=\sqrt {{AO}^2+{OC}^2}=\sqrt {{(\sqrt {3})}^2+{(2+1)}^2}=2\sqrt {3}$

取$AC$的中点$H，$连接$OH，$则在$Rt△AOC$中，$OH=\frac 1 2AC=\sqrt {3}$

$ ∴AH=OH=AO=\sqrt {3}，$即$△AHO$为等边三角形

$ ∴∠AHO=60°$

$ ∴{\widehat{AO}}$的长为$\frac {60π×\sqrt {3}}{180}=\frac {\sqrt {3}}3π$

∴当点$E$从点$B$出发按顺时针方向运动到点$D$时，点$F$所经过的路径长为$\frac {\sqrt {3}}3π$

B

解：$ ∵\triangle A B C$是等边三角形，$A B=6$

$ ∴A B=B C=A C=6， \angle A B D=\angle B C E=60°. $

在$ \triangle A B D$和$ \triangle B C E$中，

$ \{\begin{array}{l}A B=B C， \ \angle A B D=\angle B C E\ B D=C E\end{array}.$

$ ∴\triangle A B D ≌ \triangle B C E $

$ ∴\angle B A D=\angle C B E $

$ ∵\angle A F B$是$\triangle B D F $的一个外角,

$ ∴\angle A F B=\angle C B E+\angle A D B=\angle B A D+\angle A D B $

∵在$\triangle A B D $中$， \angle B A D+\angle A D B=180°-\angle A B D=120°$

$ ∴\angle A F B=120°$

∴点$ F$的运动路径是以点$ O$为圆心的如图所示的$ {\widehat{AB}}，$

且$\angle A O B=2(180°-\angle A F B)=120° $

连接$O A 、$$ O B 、$$ O C 、$$ O F，$

$ ∵O A=O B， A C=B C， O C=O C$

$ ∴\triangle A O C ≌ \triangle B O C $

$ ∴\angle O A C=\angle O B C， \angle A C O=\angle B C O=30° $

∵四边形$ O B C A$的内角和为$ 360°， \angle A O B+\angle A C B=$

$ 120°+60°=180°，$

$ ∴\angle O B C=90°$

∴在$ Rt \triangle O B C$中，$O B=\frac {1}{2}\ \mathrm {O} C. $

由勾股定理, 得$ O B^2+B C^2=O C^2， $即$O B^2+6^2=(2\ \mathrm {O} B)^2$

解得，$O B=2 \sqrt{3}($负值舍去),

此时$ O F=O B=2 \sqrt{3}， O C=2\ \mathrm {O} B=4 \sqrt{3}.$

∵点$ F $在$ {\widehat{AB}}$上运动, 总有$ C F \geqslant O C-O F， $即$ C F \geqslant 2 \sqrt{3}， $

∴当$ O 、$$ F 、$$ C$三点共线时，线段$C F$长的值最小，最小值为$2 \sqrt{3}$