解：$(1)$甲的综合成绩$\overline{x_甲}= \frac {80+87+82}{3} =83($分)，
乙的综合成绩$\overline{x_乙}= \frac {80+96+76}{3} =84($分).
$∵ 83<84，$
即$\overline{x_甲}<\overline{x_乙} $
∴ 应该录取乙
$(2)$甲的综合成绩$\overline{x_甲}=80× \frac {1}{5} +87× \frac {1}{5} +82× \frac {3}{5} =82.6($分)，
乙的综合成绩$\overline{x_乙}=80× \frac {1}{5}+96× \frac {1}{5} +76× \frac {3}{5} =80.8($分).
$∵ 82.6>80.8，$
即$\overline{x_甲}>\overline{x_乙}，$
∴ 应该录取甲
