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解：$(1)$一班进球平均数：$\frac {1}{10}×(10×1+9×1+8×1+7×4+6×0+5×3)=7($个)，

二班进球平均数：$\frac {1}{10}×(10×0+9×1+8×2+7×5+6×0+5×2)=7($个)，

一班投中$7$个球的有$4$人，人数最多，故众数为$7$个，

二班投中$7$个球的有$5$人，人数最多，故众数为$7$个；

一班中位数：第五、六名同学进$7$个球，故中位数为$7$个.

二班中位数：第五、六名同学进$7$个球，故中位数为$7$个.

$(2)$一班的方差$S_1^2=\frac {1}{10}×[(10-7)^2+(9-7)^2+(8-7)^2+4×(7-7)^2+0×(6-7)^2+3×(5-7)^2]=2.6，$

二班的方差$S_2^2=\frac {1}{10}×[0×(10-7)^2+(9-7)^2+2×(8-7)^2+5×(7-7)^2+(6-7)^2+2×(5-7)^2]=1.4，$

二班选手水平发挥更稳定，争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班.

$(3)$一班前三名选手的成绩突出，分别进$10$个、$9$个、$8$个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班.

解$：(1)\overline{x_甲}= \frac {1}{6} ×(15+16+16+14+14+15)=15(\ \mathrm {cm})，$

$\overline{x_乙}=\frac {1}{6} ×(11+15+18+17+10+19)=15(\ \mathrm {cm})；$

甲段的中位数为$15\ \mathrm {cm}，$乙段的中位数为$16\ \mathrm {cm}；$

甲段的方差$s²_甲= \frac {1}{6} ×[(15-15)²+(16-15)²+(16-15)²+(14-15)²$

$+(14-15)²+(15-15)²]= \frac {2}{3} (\ \mathrm {cm}²)，$

乙段的方差$s²_乙= \frac {1}{6} ×[(11-15)²+(15-15)²+(18-15)²+(17-15)²$

$+(10-15)²+(19-15)²]=\frac {35}{3} (\ \mathrm {cm}²)；$

甲段的极差为$16-14=2(\ \mathrm {cm})，$乙段的极差为$19-10=9(\ \mathrm {cm}). $

∴ 相同点是两段台阶的每一级台阶高度的平均数相同;

不同点是两段台阶的每一级台阶高度的中位数、方差和极差均不同

$(2)$甲段台阶走起来更舒服

∵ 它的每一级台阶高度的方差较小，

∴ 台阶高度落差不大,走起来更舒服

$(3)$每一级台阶高度均整修为$15\ \mathrm {cm}($原数据的平均数)，使得方差为$0\ \mathrm {cm}²，$此时游客行走最方便(合理即可)