第117页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

35°

$\frac {6}{7}$

证明:连接$OD. $

$∵ DF⊥BC， $

$∴ ∠F=90°，$

∴ 在$Rt△BFD$中，$∠BDF+∠DBC=90°$

$∵ AB$为$⊙O$的直径，

$∴ ∠ADB=90°，$

∴ 在$Rt△ADB$中，$∠BAD+∠ABD=90°. $

$∵ ∠EAD+∠BDF=180°，∠EAD+∠BAD=180°， $

$∴ ∠BDF=∠BAD，$

$∴ ∠ABD=∠DBC. $

$∵ OB=OD， $

$∴ ∠ABD=∠ODB，$

$∴ ∠ODB=∠DBF， $

$∴ OD//BF， $

$∴ ∠ODE=∠F=90°，$

$∴ OD⊥EF. $

$∵ OD$是$⊙O$的半径，

$∴ EF $为$⊙O$的切线

证明$：(1)$如图，连接$OD，$过点$O$作$OM⊥BC$于点$M. $

∵ 在等腰直角三角形$ABC$中，$AC=BC，$$O$是$AB$的中点，

$∴ CO$平分$∠ACB，CO⊥AB. $

$∵ ⊙O$与$AC$相切于点$D，$

$∴ OD⊥AC，$

$∴ OD=OM， $

$∴ BC$是$⊙O$的切线

$(2)$如图，过点$O$作$OH⊥AG$于点$H. $

$∵ ∠ACB=90°，CO$平分$∠ACB， $

$∴ ∠ACO=45°.$

$∵ CO⊥AB，$

$∴ ∠CAO=45°=∠ACO， $

$∴ OA=OC. $

∵ 在$Rt△AOC$中$，OA²+OC²=AC²，AC=4 \sqrt{2} ，$

$∴ OA=4.$

在$Rt△ADO$中，同理，可得$OD=2 \sqrt{2} ，$

$∴ OG=OD=2 \sqrt{2} $

$∵ ∠AOG=180°-∠AOC=90°， $

$∴ AG= \sqrt{OA²+OG²} =2 \sqrt{6}$

$∵ AG×OH=OA×OG=2S_{△AOG}， $

$∴ OH= \frac {OA×OG}{AG} = \frac {4\sqrt{3}}{3} ，$

∴ 在$Rt△OHG $中$，GH= \sqrt{OG²-OH²} = \frac {2\sqrt{6}}{3} $

$∵ OH⊥AG，OH$过圆心$O，$

$∴ FG=2GH= \frac {4\sqrt{6}}{3}$