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证明：$(1)$连结$OD，$如图所示：

$∵∠DAO=60°，$$OD=OA，$

$∴△DOA$是等边三角形，

$∴∠ODA=∠C=60°，$

$∴OD∥BC，$

又$∵∠DFC=90°，$

$∴∠ODF=90°，$

$∴OD⊥DF，$

即$DF$是$⊙O$的切线.

$(2)$设半径为$r，$等边$△ABC$的边长为$a，$

由$(1)$可知：$AD=r，$则$CD=a-r，BE=a-2r$

在$Rt△CFD$中，$∠C=60°，$$CD=a-r，$

$∴CF=\frac {1}{2}(a-r)，$

$∴BF=a-\frac {1}{2}(a-r)，$

又$∵EF$是$⊙O$的切线，

$∴△FEB$是直角三角形，且$∠B=60°，$$∠EFB=30°，$

$∴BF=2BE，$

$∴a-\frac {1}{2}(a-r)=2(a-2r)，$

解得：$a=3r，$

即$r=\frac {1}{3}a，$

$∴⊙O$的半径$r$与等边$△ABC$的边长$a$之间的数量关系为：$r=\frac {1}{3}a.$

解：$(1) ∵ AB$是$⊙O$的直径，

$∴ ∠ACB=90°$

$∵ AD$平分$∠BAC，$

$∴ ∠BAC=2∠BAD. $

$∵ ∠BOD=2∠BAD，$

$∴ ∠BOD=∠BAC，$

$∴ OD//AC，$

$∴ ∠OEB=∠ACB=90°，$

$∴ ∠OEC=180°-∠OEB=90°$

$(2)$连接$BD.$

设$OA=OB=OD=r，$

则$OE=r-4，$$AB=2r. $

$∵ AB$是$⊙O$的直径，

$∴∠ADB=90°，$

∴在$Rt△ADB$中，$BD²=AB²-AD².$

由$(1)，$得$∠OEB=90°，$

$∴ ∠BED=180°-∠OEB=90°，$

$∴ BE²=OB²-OE²=BD²-DE²，$

$∴ BD²=AB²-AD²=BE²+DE²=OB²-OE²+DE²，$

$∴ (2r)²-(2 \sqrt{35} )²=r²-(r-4)²+4².$

整理，得$r²-2r-35=0，$

解得$r=7$或$r=-5($不合题意，舍去).

$∴ AB=2r=14，$

$∴ BD= \sqrt{AB²-AD²} = \sqrt{14²-(2\sqrt{35})²} =2 \sqrt{14} . $

$∵ AF$是$⊙O$的切线，

$∴ AF⊥AB. $

$∵ DG//AF，$

$∴ DG⊥AB. $

$∵ S_{△ABD}= \frac {1}{2}× AD×BD= \frac {1}{2}×AB×DG，$

$∴ DG=\frac {AD×BD}{AB} = \frac {2\sqrt{35}×2\sqrt{14}}{14} =2 \sqrt{10}$