解：$(1)$设第一次相切时，$△ABC$移至$△A'B'C'$处，如图①，
设$A'C'$与$⊙O$相切于点$E，$连接$OE$并延长，交$B'C'$于点$F.$
设$⊙O$与直线相切于点$D，$连接$OD，$
则$OE⊥A'C'，$$OD⊥l.$
由切线长定理，可知$C'E =C'D，$
设$C'D=x\ \mathrm {cm} ，$
则$C'E = x\ \mathrm {cm} .$
在$Rt△C'EF$中,由题意易得$∠A'C'B'=∠EFC'=45°，$
∴ 易知$C'F= \sqrt{2} x\ \mathrm {cm} ，$
且在$ Rt △ OF D$中，$FD=OD=1\ \mathrm {cm} ，$
$∴ \sqrt{2} x+x=1，$
$∴x= \sqrt{2}-1，$
$∴ CC'=5-1-( \sqrt{2} -1)=(5-\sqrt{2} )\ \mathrm {cm}，$
∴ 点$C$移动的时间为$(5- \sqrt{2} )÷(2+0.5)= \frac {10-2\sqrt{2}}{5} (\mathrm {s})，$
∴ 点$B$移动的距离为$ \frac {10-2\sqrt{2}}{5} ×2= \frac {20-4\sqrt{2}}{5} (\ \mathrm {cm}) $
$(2) ∵ △ABC$与$⊙O$最后一次相切，是边$AB$与$⊙O$相切，且圆心在$AB$的左侧，
∴ 路程差为$6\ \mathrm {cm}，$速度差为$1\ \mathrm {cm}/s，$
$∴ △ABC$从开始移动到它的边(边$BC$除外)与圆最后一次相切，一共经过了$6÷1=6(\mathrm {s})$
$(3)$不存在 理由：
$∵△ABC$与$⊙O$从开始移动到如图②所示的位置时，路程差为$4\ \mathrm {cm}，$速度差为$1\ \mathrm {cm}/s，$
∴移动时间为$4÷1=4(\mathrm {s})，$
此时$△ABC$移动至$△A''B''C''$处.
记$⊙O$与$A''B''$相切于点$W，$与$B''C”$相切于点$S，$
连接$OW、$$OS、$$B''O，$延长$B''O，$交$A''C''$于点$P，$
则$OW⊥A''B''，$$OS⊥B''C''.$
$∴∠B''WO=∠OSB''=90°.$
$∵∠A''B''C''=90°，$
∴ 四边形$OWB''S$是矩形.
又$∵OW=OS，$
∴ 四边形$OWB''S$是正方形，
∴易得$∠OB''S=45°.$
在$△B''PC''$中，$∠A''C''B''=45°，$$∠B''PC''=180°-45°-45°=90°，$
$∴B''P⊥A''C''.$
$∵A''B''=1+4×0.5=3(\ \mathrm {cm})，$
$∴B''C''=A''B''=3\ \mathrm {cm}，$
∴ 由勾股定理，易得$B''P=C''P=\frac {3\sqrt{2}}{2}\ \mathrm {cm}，$$B''O=\sqrt{2}\ \mathrm {cm}，$
$∴OP=\frac {3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac {\sqrt{2}}{2}(\ \mathrm {cm}).$
$∵\frac {\sqrt{2}}{2}<1，$
∴此时$⊙O$与$A''C''$相交，
∴不存在某一时刻，使得$△ABC$与$⊙O$的公共部分的面积等于$⊙O$的面积.
