证明：$(1)$在正方形$ABCD$中，$AB=BC=AD=2，$$∠ABC=90°.$
$∵△BEC$绕点$B$逆时针旋转$90°$得到$△ABF，$
$∴△ABF≌△CBE，$
$∴∠FAB=∠ECB，$$∠ABF=∠CBE=90°，$$AF=CE，$
$∴∠AFB+∠FAB=90°.$
∵线段$AF$绕点$F$顺时针旋转$90°$得线段$FG，$
$∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，$
$∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，$
$∴EC∥FG.$
$∵AF=CE，$$AF=FG，$
$∴EC=FG，$
∴四边形$EFGC$是平行四边形，
$∴EF∥CG.$
$(2)$解：$∵AD=2，$$E$是$AB$的中点，
由平行四边形的性质得$△FEC≌△CGF，$
$∴S_{△FEC}=S_{△CGF}，$
$∴S_{阴影}=S_{扇形BAC}+S_{△ABF}+S_{△FGC}-S_{扇形FAG}$
$=\frac {90·π·{2}^2}{360}+\frac {1}{2}×2×1+\frac {1}{2}×(1+2)×1-\frac {90·π·{(\sqrt{5})}^2}{360}，$
$=\frac {5}{2}-\frac {π}{4}.$
