第8页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

证明：$(1)$连接$OA，$如图：

$∵AB⊥CD，$

$∴∠AFD=90°，$

$∴∠FAD+∠ADF=90°，$

$∵OA=OD，$

$∴∠OAD=∠ADF，$

$∴∠FAD+∠OAD=90°，$

$∵∠EAD=∠FAD，$

$∴∠EAD+∠OAD=90°，$即$∠OAE=90°，$

$∴OA⊥AE，$

$∵OA$是$⊙O$半径，

$∴AE$是$⊙O$的切线.

$(2)$解：连接$AC，$$AO，$如图：

$∵CD$为$⊙O$直径，

$∴∠CAD=90°，$

$∴∠C+∠ADC=90°，$

$∵∠FAD+∠ADC=90°，$

$∴∠C=∠FAD，$

$∵∠EAD=∠FAD，$

$∴∠C=∠EAD，$

$∵∠P=∠P，$

$∴△ADP∽△CAP，$

$∴\frac {AP}{CP}=\frac {PD}{AP}，$

$∵PA=4，$$PD=2，$

$∴\frac {4}{CP}=\frac {2}{4}，$

解得$CP=8，$

$∴CD=CP-PD=8-2=6，$

$∴⊙O$的半径为$3.$

$∴OA=3=OD，$

$∴OP=OD+PD=5，$

$∵∠OAP=90°=∠DEP，$$∠P=∠P，$

$∴△OAP∽△DEP，$

$∴\frac {DE}{OA}=\frac {PD}{OP}，$即$\frac {DE}{3}=\frac {2}{5}，$

$∴DE=\frac {6}{5}，$

$∴⊙O$的半径为$3，$$DE$的长为$\frac {6}{5}.$

$\frac {1}{2}$或$2$或$\frac {14}{5} $

解：$(1)∵∠COB=90°，$$∠CBO=45°，$$B(3，$$0)，$

$∴∠OCB=45°=∠CBO，$

$∴OC=OB=3，$

$∵CD∥OA，$$∠D=90°，$$∠COA=90°，$

$∴∠DCO=90°，$$∠DAO=90°，$

∴四边形$COAD$是矩形，

$∵A(5，$$0)，$

$∴CD=OA=5，$$OC=AD=3，$

∴点$D$的坐标为$(5，$$3)，$

∴点$C$的坐标为$(0，$$3).$

$(2)$如图，当$P$在$B$的左侧，

$∵∠BCP=15°，$$∠OCB=45°，$

$∴∠PCO=30°，$

$OP=OC×tan_{30}°=3×\frac {\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}，$

$∵Q(-4，$$0)，$

$∴QP=4+\sqrt{3}，$

即$t=(4+\sqrt{3})÷2=\frac {4+\sqrt{3}}{2}；$

②如图，当$P$在$B$的右侧，

$∵∠BCP=15°，$$∠OCB=45°，$

$∴∠OCP=60°，$

则$∠CPO=30°，$

$∴OP=\sqrt{3}OC=3\sqrt{3}，$

$∴QP=4+3\sqrt{3}，$

$t=(4+3\sqrt{3})÷2=\frac {4+3\sqrt{3}}{2}.$

综上可知，当$∠BCP=15°$时，$t$的值为$\frac {4+\sqrt{3}}{2}$或$\frac {4+3\sqrt{3}}{2}.$