证明$：(1)∵\widehat{AB}=\widehat{AB}$
$∴∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB$
$∵\widehat{BC}=\widehat{BC}$
$∴∠BAC=\frac {1}{2}∠BOC$
$∵∠ACB=2∠BAC$
$∴∠AOB=2∠BOC$
$(2)$如图，过点$O$作$OD⊥AB $于点$E，$交$⊙O $于点$D，$连接$BD，$
则$∠DOB=\frac {1}{2}∠AOB，AE=BE. $
$∵ ∠AOB=2∠BOC，$
$∴∠DOB=∠BOC，$
$∴ BD=BC.$
$∵AB=4，BC=\sqrt{5}$
$∴BE=2，DB=\sqrt{5}$
∵ 在$Rt△BDE $中$，∠DEB=90°，$
$∴DE= \sqrt{BD²-BE²}=1. $
∵ 在$Rt△BOE$中$，∠OEB=90°，$
$∴OB²=OE²+BE²，$
即$OB²=(OB-1)²+2²，$
$∴ OB=\frac {5}{2}，$
即$⊙O$的半径是$\frac {5}{2}$
