解$：(1)$如图，连接$OB. $
∵ 线段$AB$与$⊙O$相切于点$B，$
$∴ OB⊥AB，$
$∴ ∠ABO=90°. $
$∵ ∠ABC=120°， $
$∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°$
$∵ OB=OC， $
$∴ ∠ACB=∠OBC=30° $
$(2)$四边形$ABCD$是菱形
如图，连接$BM、$$DM. $
$∵ M$为$DB$的中点，
$∴ ∠DCM=∠BCM=30°，DM=BM. $
$∵ △ABC$的内角和为$180°， $
$∴ ∠CAB=30°，$
$∴ ∠CAB=∠ACB=∠DCM， $
$∴ AB=BC，AB//CD. $
$∵ MC$为$⊙O$的直径，
$∴ ∠CDM=∠CBM=90°$
在$Rt△CDM$和$Rt△CBM$中，
$\begin{cases}{CM=CM，}\\{DM=BM，}\end{cases}$
$∴ Rt△CDM≌Rt△CBM， $
$∴ CD=CB，$
$∴ CD=AB.$
又$ ∵ AB//CD， $
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形
$∵ AB=BC， $
∴ 四边形$ABCD$是菱形
