解$：(1)∵ $在$Rt△ABC$中$，∠ACB=90°，AC=BC，AB=10\ \mathrm {cm}，$
∴ 易得$AC=BC=5 \sqrt{2}\ \mathrm {cm}，∠A=45°. $
$∵ DE//BC，DF//AC， $
∴ 四边形$DFCE$为平行四边形
$∵ ∠ACB=90°，$
∴ 四边形$DFCE$为矩形，
$∴ ∠DEC=∠DEA=90°$
$∵ ∠A=45°， $
$∴ △ADE$是等腰直角三角形.
由题意，得$AD=2\ \mathrm {t}\ \mathrm {cm} ，$
则易得$AE=DE= \sqrt{2}\ \mathrm {t}\ \mathrm {cm} ，EC=(5 \sqrt{2}-\sqrt{2}\ \mathrm {t})\ \mathrm {cm}. $
$∴ \sqrt{2}\ \mathrm {t}×(5 \sqrt{2}-\sqrt{2}t)=12.$
整理，得$t²-5t+6=0，$
解得$t_{1}=2，t_{2}=3. $
∴ 当$t$的值为$2$或$3$时，四边形$DFCE$的面积为$12\ \mathrm {cm}² $
$(2)①$存在 ∵点$B$在$OD$上，
$∴DB=DE.$
当点$D$在点$B$的左边时，由$\sqrt{2}t=10-2t，$
解得$t=10-5\sqrt{2}；$
当点$D$在点$B$的右边时，由$\sqrt{2}t=2t-10，$
解得$t=10+5\sqrt{2}.$
综上所述，当$t$的值为$10-5+\sqrt {2} $或$10+5\sqrt{2}$时，$⊙D$正好经过点$B.$
