证明：$(1)$连接$OC. $
$∵\widehat{BC}=\widehat{BD}，$
$∴ ∠BOD=∠BOC.$
$∵ OA=OC，$
$∴ ∠OCA=∠A，$
$∴ ∠BOC=∠OCA+∠A=2∠A. $
$∵ ∠BOD=2∠F，$
$∴ ∠A=∠F. $
$∵ △AEG、$$△FBG$的内角和均为$180°，$$∠AGE=∠BGF，$
$∴∠AEG=∠GBF.$
$∵DE⊥AC，$
$∴ ∠AEG=90°，$
$∴ ∠GBF=90°，$
$∴ OB⊥BF.$
$∵ OB$为$⊙O$的半径，
$∴ BF$是$⊙O$的切线.
$(2)△DGB$为等腰三角形,理由:
$∵ AB$是$⊙O$的直径，$\widehat{BC}=\widehat{BD}，$
$∴\widehat{AC}=\widehat{AD}，$
$∴ ∠OBD=∠OBC. $
$∵ AB$是$⊙O$的直径，
$∴ ∠ACB=90°$
由$(1)，$得$∠AEG=90°，$
$∴ ∠ACB=∠AEG，$
$∴ EF//BC，$
$∴ ∠DGB=∠OBC，$
$∴ ∠DGB=∠OBD，$
$∴ DB=DG，$
$∴ △DBG$为等腰三角形
$(3)$由$(1)，$得$∠GBF=90°，$
由$(2)，$得$∠DGB =∠OBD，$
$∴∠DGB +∠F = 90°，$$ ∠OBD+∠FBD=90°，$
$∴∠F=∠FBD，$
$∴ BD=DF.$
由$(2)，$得$BD=DG.$
$∵BD=2，$
$∴ FG=DF+DG=2BD=4$
