解$：(1)$若点$Q{速度} $为$1\ \mathrm {cm}/s， $点$P{速度} $为$2\ \mathrm {cm}/s， $
两点同时运动，当点$P$到达终点$A$时，点$P$用了$\frac {4}{2}=2s，$
此时点$Q{运动了}2×1=2\ \mathrm {cm}，$
∴不可能点$Q$先到达终点，
∴运动时间$t$最大为$2s，$
∴运动时间$t(\mathrm {s})$的取值范围是：$0\leqslant t\leqslant 2.$
$(2)$点$Q{速度} $为$1\ \mathrm {cm}/s， $点$P{速度} $为$2\ \mathrm {cm}/s， $
则$AQ=1×t=t(\ \mathrm {cm})，$$ BP=2×t=2t(\ \mathrm {cm})$
$∴AP=AB-BP=(4-2t)\ \mathrm {cm}，$
$∵{S}_{\triangle APQ}=\frac {1}{2}AP·AQ=1\ \mathrm {cm^2}，$
$∴\frac {1}{2}(4-2t)t=1，$
则$(2-t)t=1， $
去括号，得$2t-{t}^2=1，$
整理得${t}^2-2t 1=0，$
即${(t-1)}^2=0，$
解得：$t=1s，$
此时，点$P$运动了$2×1=2\ \mathrm {cm}，$位于$AB$的中点.
