证明：$(1)∵∠BAC$的平分线交$△ABC$的外接圆于点$D，$$∠ABC$的平分线交$AD$于点$E，$
$∴∠BAD=∠CAD，$$∠ABE=∠CBE.$
$∵∠CAD=∠CBD，$
$∴∠BAD=∠CAD=∠CBD.$
$∵∠BED=∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠CBD，$
即$∠BED=∠DBE，$
$∴DB=DE.$
$(2)$连接$CD.$
∵∠BAC=90°，
$∴BC$是$△ABC$外接圆的直径，
$∴∠BDC=90°.$
$∵∠CAD=∠BAD=∠CBD，$$∠BAC=90°，$
$∴∠CBD=45°，$
$∴△BCD$是等腰直角三角形，
$∴BC=\sqrt{2}BD=4\sqrt{2}，$
$∴△ABC$外接圆的半径为$2\sqrt{2}.$
