第29页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

55°

解$：∵ AD $是$△ABC $的高，

$∴∠BDF=∠ADC=90°. $

在$Rt△BDF $和$ Rt △ADC $中，

$\begin{cases}{BF=AC}\\{FD=CD}\end{cases}$

$∴ Rt△BDF ≌Rt△ADC. $

$∴∠DBF=∠DAC. $

$∵ ∠DAC+∠C=∠BDF=90°，$

$∴∠AEB=∠DBF+∠C=90°$

$∴BE⊥AC$

证明$：∵ AG⊥BD，AF⊥CE， $

$∴ ∠AGB=∠AFC=90°$

在$Rt△AGB$和$Rt△AFC$中

$\begin{cases}{AB=AC，}\\{AG=AF，}\end{cases}$

$∴ Rt△AGB≌Rt△AFC.$

$∴ ∠B=∠C. $

在$△ABD $和$△ACE $中,

$\begin{cases}{∠B=∠C}\\{AB=AC，}\\{∠BAD=∠CAE，}\end{cases}$

$∴△ABD≌△ACE.$

$∴ BD=CE$

证明$：(1)∵AD$是$△ABC$的中线

$∴BD=CD$

$∵BE⊥AD，CF⊥AD$

$∴∠BEG=∠BED=∠F=90°$

在$△BED$和$△CFD$中

$\begin{cases}{∠BED=∠F}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{cases}$

$∴△BED≌△CFD$

$∴BE=CF$

$(2)$在$Rt△BGE $和$ Rt△CAF $中,

$\begin{cases}{BG=CA}\\{BE=CF}\end{cases}$

$∴ Rt△BGE≌Rt△CAF.$

$∴ GE=AF. ∴ $易得$ AG=EF. $

由$ (1)，$知$△BED≌△CFD，$

$∴DE=DF.$

$∴AG=2DE$