解：$(1)$由欢欢由于抄错了第一个多项式中$a$的符号，得到的结果为$6x^2-13x+6，$可得
$(2x-a)(3x+b)=6x^2-13x+6，$
由多项式与多项式的乘法法则，得
$6x^2+2bx-3ax-ab=6x^2-13x+6①，$
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的$x$的系数，得到的结果为$2x^2-x+6，$可得
$(2x+a)(x+b)=2x^2-x+6，$
由多项式与多项式的乘法法则，得
$2x^2+2bx+ax=2x^2-x+6②，$
由①②可得
$2b-3a=-13，$$2b+a=-1，$
解得$a=3，$$b=-2，$
$(2)$原式为$(2x+3)(3x-2)，$
由多项式与多项式的乘法法则展开，得$6x^2+5x-6.$
