证明：$(1)$连接$AD，$
$∵AB=AC，$$∠BAC=90°，$$D$为$BC$的中点，
$∴AD⊥BC，$$BD=AD，$
$∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°.$
$∵BE=AF，$$∠B=∠DAC，$$BD=AD，$
$∴△BDE≌△ADF，$
$∴ED=FD，$$∠BDE=∠ADF，$
$∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°，$
$∴△DEF$为等腰直角三角形.
$(2)△DEF$为等腰直角三角形.
证明：连接$AD.$
∵AB=AC，
$∴△ABC$为等腰三角形.
$∵∠BAC=90°，$$D$为$BC$的中点，
$∴AD=BD，$$AD⊥BC，$
$∴∠DAC=∠ABD=45°，$
$∴∠DAF=∠DBE=135°.$
又$AF=BE，$
$∴△DAF≌△DBE，$
$∴FD=ED，$$∠FDA=∠EDB，$
$∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°，$
$∴△DEF$仍为等腰直角三角形.
