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y=x²-3x+2

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解：$(1)$由题意得$\begin{cases}\mathrm {m^2}-m=0\\m-1≠0\end{cases}$

解得$m=0$

$(2)$由题意得$\mathrm {m^2}-m≠0$

解得$m≠0$且$m≠1$

∴$m$的取值范围为$m≠0$且$m≠1$

解：由题意得$0≤x≤4$时，$AP=AQ=x\mathrm {cm}$

∴$y=\frac 12×4×4-\frac 12x^2=8-\frac 12x^2$

当$4＜x≤8$时，$CQ=CP=4+4-x=(8-x)\mathrm {cm}$

∴$y=\frac 12×4×4-\frac 12(8-x)^2=-\frac 12x^2+8x-24$

综上所述，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}{}8-\dfrac 12x^2(0≤x≤4)\\{}-\dfrac 12x^2+8x-24(4＜x≤8)\end{cases}$