解：$(1)$由题意，得$8=a ·2^2$
解得$a=2$
∴$y=2x^2$
∴当$x=-1$时，$k=2×(-1)^2=2 $
$(2)$对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0，$$0)，$开口向上
$(3) $∵当$x=-3$时，$y=2×(- 3)^2=18≠9$
∴这个函数的图象不经过点$(-3，$$9) $
$(4)$令$y=6，$则$2x^2=6$
解得$x_1=\sqrt {3}，$$x_2=-\sqrt {3}$
∴该抛物线上纵坐标为$6$的点的坐标为$(\sqrt {3}，$$6)、$$(-\sqrt {3}，$$6)$
