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(100-2x)

(60-2x)

解：$(2)$根据题意得$(100-2x)(60-2x)=3200$

解得$x_1=10，$$x_2=70($不合题意，舍去)

∴$100-2x=80，$$60-2x=40$

∴该盒子的底面长为$80\ \mathrm {cm}，$宽为$40\ \mathrm {cm}$

不是

解：$(2)$设方程的两根分别为$x_1、$$x_2$

易得$x_1=4$

∵$(x-4)(mx+n)=0$是“半根方程”

∴$x_2=2$或$x_2=8$

当$x_2=2$时，$2m+n=0，$$\frac mn=-\frac 12$

当$x_2=8$时，$8m+n=0，$$\frac mn=-\frac 18$

∴$\frac mn$的值为$-\frac 12$或$-\frac 18$

800

(600+200x)

解：$(2)$由题意得$(40-30-x)(600+200x)=8400$

整理得$x^2-7x+12=0$

解得$x_{1}=3，$$x_{2}=4$

当$x=4$时，∵$600+200x=1400，$$1400＞1210$

∴$x=4($不合题意，舍去)

当$x=3$时，∵$600+200x=1200，$$1200＜1210$

∴$x=3$符合题意

$40-3=37($元)

∴每盏台灯的售价为$37$元

$(3)$月获利不能达到$9600$元，理由：

由题意，得$(40-30-x)(600+200x)=9600$

整理，得$x²-7x+18=0$

∵$△=49-72=-23<0$

∴方程无实数根

∴月获利不能达到$9600$元

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