$(1)$证明：∵$△=[-(2k+1)]^2-4×(k^2+k)=1＞0$
∴无论$k$取何值，方程都有两个不相等的实数根
$(2)$∵$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$
∴$(x-k)[x-(k+1)]=0$
解得$x=k，$$x=k+1$
∴一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$的两根为$k、$$k+1$
∴$\frac {x_1}{x_2}=\frac {k+1}{k}=1+\frac 1k$或$\frac {x_1}{x_2}=\frac k{k+1}=1-\frac 1{k+1}$
若$1+\frac 1k$为整数，则$k=±1$
若$1-\frac 1{k+1}$为整数，则$k+1=±1，$$k=0$或$k=-2$
∴整数$k$的所有可能的值为$±1、$$0、$$-2$
