解：$(1)$当$1≤x≤22，$$W=(0.5x+25-20)×(120-2x)=-x^2+50x+600$
当$23≤x≤30$时，$W=(36-20)×(120-2x)=-32x+1920$
∴$W=\begin{cases}{-x^2+50x+600(1≤x≤22，x为整数)}\\{-32x+1920(23≤x≤30，x为整数)}\end{cases}$
$(2)$当$1≤x≤22$时，$W=-x²+50x+600=-(x-25)²+1225$
∵$ -1<0$
∴在$1≤x≤22$时，$W$随$x$的增大而增大
∴ 当$x=22$时，$W$有最大值，最大值为$1216$
当$23≤x≤30$时，$W=-32x+1920$
∵$ -32<0$
∴ 当$x=23$时，$W$有最大值，最大值为$-32×23+1920=1184$
∵$ 1216>1184$
∴ 该商品在第$22$天的日销售利润最大，最大利润是$1216$元
