解：$(1)$如图①，过点$F $作$FP⊥CB，$交$CB$的延长线于点$P$
∵$DE$绕点$E$按逆时针方向旋转$90°$得到$EF$
∴$DE=EF，$$∠FED=90°$
∴$∠FEP+∠DEC=90°$
∵$∠PFE+∠PEF=180°-90°=90°$
∴$∠DEC=∠PFE$
又∵四边形$ABCD$是正方形
∴$AB=BC=CD=6，$$∠C=90°=∠FPE$
∴$△FPE≌△ECD$
∴$PF=CE=2，$$PE=CD=6$
∴$PB=PE-BE=PE-(BC-EC)=6-6+2=2$
∴$BF=\sqrt {2²+2²}=2 \sqrt {2}$
$(2)$如图②，过点$F$作$FH⊥CB$于点$H$
∵四边形$ABCD$是正方形
∴$CD=BC，$$∠DCB=90°$
∴$∠DCE=90°$
由旋转，得$DE=EF，$$∠DEF=90°$
∵$∠DEF=∠DCE=90°$
∴$∠DEC+∠FEH=90°，$$∠DEC+∠EDC=90°$
∴$∠FEH=∠EDC$
在$△DEC$和$△EFH $中
$\begin{cases}{∠DCE=∠EHF}\\{∠EDC=∠FEH}\\{DE=EF}\end{cases}$
∴$△DEC≌△EFH$
∴$EC=FH，$$CD=EH=BC$
∴$BC-CH=EH-CH$
∴$HB=EC=HF$
∴$△BHF $是等腰直角三角形
∴易得$BF= \sqrt {2}\ \mathrm {BH}$
∵$CD=BC，$$∠BCD=90°$
∴易得$BD=\sqrt {2}BC=\sqrt {2}\ \mathrm {HE}$
∵$HE+BH=BE$
∴$BF+BD=\sqrt {2}BH+\sqrt {2}HE=\sqrt {2}BE$
