解：$(2)$成立
如图，连接$AC$
由题意，得四边形$ABCD$是菱形，$∠B=∠D=60°$
∴$AB=BC=AD=CD$
∴$△ABC$是等边三角形，$△ACD$是等边三角形
∴$AB=AC，$$∠ACF=∠B=∠BAC=60°$
∵$∠BAC=∠MAN=60°$
∴$∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，$即$∠BAE=∠CAF$
在$△BAE$和$△CAF$中
$\begin{cases}∠BAE=∠CAF\\AB=AC\\∠B=∠ACF\end{cases}$
∴$△BAE≌△CAF$
∴$AE=AF$
