解：$(1)$补全图形如图所示
由旋转，得$CP=CQ，$$∠QCP=90°$
∵$∠QCP=∠ACB=90°$
∴$∠QCA=∠PCB$
在$△QCA$和$△PCB$中
$\begin{cases}{CQ=CP}\\{∠QCA=∠PCB}\\{CA=CB}\end{cases}$
∴$△QCA≌△PCB$
∴$AQ=BP $
$(2)$∵$△QCA≌△PCB$
∴$∠CQA=∠CPB$
∵易得$∠CAP=∠CPQ=45°$
∴$∠APB=∠CPQ=45°$
∴$∠APQ=∠CPB$
∴$∠AQP+∠APQ=∠AQP+∠CQA=∠CQP=45°$
∴$∠QAP=180°-45°=135° $
$(3)PC= \sqrt {2}\ \mathrm {PN} $
如图，延长$PN$到点$T，$使得$NT=NP，$连接$AT$
∵$N$为$AB$的中点
∴$NA=NB$
在$△ANT$和$△BNP $中
$\begin{cases}{NA=NB}\\{∠ANT=∠BNP}\\{NT=NP}\end{cases}$
∴$△ANT≌△BNP$
∴$AT=BP，$$∠T=∠NPB$
∴$AT//PB$
∴$∠TAP+∠APB=180°$
∵$∠APB=45°$
∴$∠TAP=135°=∠QAP$
∵$AQ=PB，$$PB=AT$
∴$AT=AQ$
在$△PAT$和$△PAQ $中
$\begin{cases}{PA=PA}\\{∠PAT=∠PAQ}\\{AT=AQ}\end{cases}$
∴$△PAT≌△PAQ$
∴易得$PT=PQ= \sqrt {2}\ \mathrm {PC}$
∴$2PN=\sqrt 2PC$
∴$PC= \sqrt {2}\ \mathrm {PN}$
