第125页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

证明：$(1) ∵A D $是$ \angle B A C$的平分线

$∴\angle B A D=\angle E A D$

在$\triangle A B D $和$\triangle A E D $中

${{\begin{cases} {{AB=AE}}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AD=AD} \end{cases}}}$

$∴\triangle A B D \cong\triangle A E D $

$(2) ∵\triangle A B D \cong \triangle A E D$

$ ∴A B=A E=9，$$ B D=E D=5，$$ \angle A E D=\angle B$

又$ ∵\angle A E D=\angle C+\angle C D E，$$ \angle B=2 \angle C$

$∴\angle C=\angle C D E$

$ ∴E D=E C=5$

$∴A C=A E+E C=9+5=14$

证明：如图，在$ B C$上取一点$ F，$使得$ F B=A B，$连接$ D F． $

$∵B D$平分$ \angle A B C，$$\angle A B C=40°，$

$ ∴\angle A B D=\angle F B D=20°． $

在$\triangle A B D $和$ \triangle F B D$中，

$ \{\begin{array}{l}A B=F B\\\angle ABD=\angle FBD \\BD=B D\end{array}.$

$ ∴\triangle A B D ≌ \triangle F B D . $

$∴A D=F D，$$\angle B D F=\angle B D A=180°-\angle A-\angle A B D=60° . $

$∴\angle F D C=\angle B D A=\angle E D C=60° . $

$∵E D=A D，$

$∴E D=F D． $

在$\triangle E D C$和$\triangle F D C$中，

$\{\begin{array}{l}E D=F D\\\angle E D C=\angle F D C\\D C=D C\end{array}.$

$∴\triangle E D C ≌ \triangle F D C . $

$∴C E=C F . $

$∴B C=F B+C F=A B+C E$

证明：$(1) ∵D$是$A B $的中点，$A C=B C，$$\angle A C B=90°，$

$ ∴C D \perp A B，$$\angle A C D=\angle B C D=45°，$$\angle C A D=\angle C B D=45° .$

$∴\angle C A E=\angle B C G . $

$∵B F \perp C E，$

$∴\angle C B G+\angle B C F=90°. $

又$ ∵\angle A C E+\angle B C F=90°，$

$∴\angle A C E=\angle C B G． $

在$△AEC$和$△CGB$中，

$\{\begin{array}{l}\angle C A E=\angle B C G\\A C=C B\\\angle A C E=\angle C B G\end{array}.$

$ ∴\triangle A E C ≌\triangle C G B . $

$∴A E=C G $

$(2)BE=CM ，$证明如下：

$∵A C=B C，$$\angle A C B=90°，$$D $是$ A B$的中点，

$∴\angle C A B=\angle C B A=45°，$$ C D \perp A B，$$\angle A C D=45° . $

$∵C H \perp H M，$

$∴\angle M+\angle M C H=90°，$$\angle B E C+\angle M C H=90° . $

$∴\angle M=\angle B E C． $

在$ \triangle B C E$和$\triangle C A M$中，

$\{\begin{array}{l}\angle B E C=\angle M\\\angle C B E=\angle A C M\\B C=C A\end{array}.$

$ ∴\triangle B C E ≌ \triangle C A M$

$∴BE=CM$