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解:在$△ABC $中，$∠B=40°，∠C=60°，$

$∴ ∠BAC=180°-40°-60°=80°$

$∵ AD$平分$∠BAC，$

$∴ ∠BAD=∠CAD=40°.$

在$△ABD $中$，∠B=40°，∠BAD=40°，$

$∴ ∠ADB=180°-40°-40°=100°. $

$∵ DE⊥BC，$

$∴ ∠BDE=90°$

$∴ ∠ADE=∠ADB-∠BDE=100°-90°=10°$

$证明：(1)∵AE平分∠CAD$

$∴∠DAE=∠CAE$

$∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BEA=∠CAE+∠C，∠BAE=∠BEA$

$∴∠BAD=∠C$

$(2)解：由(1)，知∠BAD=∠C=55°$

$∴∠BEA=∠BAE=55°+∠DAE$

$∵∠B+∠BEA+∠BAE=180°，∠B=3∠DAE$

$∴3∠DAE+2(55°+∠DAE)=180°$

$∴∠DAE=14°$

$∴∠B=42°$

解：$(1)∵ ∠BAC=80°，$$∠B=30° $

$∴ ∠ACB=180°-∠BAC-∠B=70°. $

$∵ AE$平分$∠BAC，$

$∴ ∠CAE=\frac {1}{2}∠BAC=40°. $

$∵ CD⊥AE，$

$∴ ∠AFC=90°$

$∴ ∠ACD=180°-∠AFC-∠CAE=50°$

$∴ ∠BCD=∠ACB-∠ACD=20°$

$(2)∵ ∠BDG=∠BAC，$

$∴ DG//AC. $

$∴ ∠GDC=∠ACD.$

$∵CD⊥AE，$

$∴∠AFC=90°.$

$∴∠CAE+∠ACD=180°-∠AFC=90°. $

$∴ ∠GDC+∠CAE=90°，$

即$∠GDC$与$∠CAE$互余

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