证明：$(1) ∵B D \perp $直线$ m，$$ C E \perp $直线$ m$
$ ∴\angle B D A=\angle A E C=90°$
$∵\angle B A C=90°$
$∴\angle B A D+\angle C A E=90° $
$∵\angle B A D+\angle A B D=90°$
$∴\angle C A E=\angle A B D$
又$ ∵A B=C A$
$ ∴\triangle A D B ≌ \triangle C E A$
$∴B D=A E，$$ A D=C E$
$∴D E=A E+A D=B D+C E $
$(2) $成立.理由如下：
$∵\angle B D A=\angle B A C=α$
$ ∴\angle D B A+\angle B A D=\angle B A D+\angle E A C=180°-α$
$∴\angle D B A=\angle E A C$
又$ ∵\angle B D A=\angle A E C=α，$$A B=C A$
$ ∴\triangle A D B ≌ \triangle C E A$
$ ∴B D=A E，$$ A D=C E$
$∴D E=A E+A D=B D+C E$
$(3)\triangle D E F $为等边三角形.理由如下：
由$ (2) $知，$ \triangle A D B ≌ \triangle C E A$
$∴B D=A E，$$ \angle D B A=\angle E A C$
$∵\triangle A B F$和$ \triangle A C F $均为等边三角形
$∴B F=A F，$$\angle B F A=\angle A B F=\angle C A F=60° $
$ ∴\angle D B A+\angle A B F=\angle E A C+\angle C A F$
即$ \angle D B F=\angle E A F$
又$ ∵B F=A F，$$ B D=A E$
$ ∴\triangle D B F ≌ \triangle E A F$
$ ∴D F=E F，$$ \angle B F D=\angle A F E$
$∴\angle D F E=\angle D F A+\angle A F E=\angle D F A+\angle B F D=\angle B F A=60°$
$ ∴\triangle D E F $为等边三角形.
