第12页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

解：$(1)∵DM，$$EN$分别垂直平分$AC$和$BC，$

$∴MA=MC，$$BN=CN，$

$∵△CMN$的周长为$15\ \mathrm {cm}，$

$∴CM+MN+CN=15(\ \mathrm {cm})，$

$∴AB=AM+MN+BN=CM+MN+BN=15(\ \mathrm {cm}).$

$(2)∵MA=MC，$$MD⊥AC，$

$∴∠AMD=∠CMD，$

同理可知，$∠BNE=∠CNE，$

$∵∠MFN=70°，$

$∴∠FMN+∠FNM=180°-70°=110°，$

$∴∠AMD+∠BNE=110°，$

$∴∠AMC+∠BNC=220°，$

$∴∠CMN+∠CNM=360°-220°=140°，$

$∴∠MCN=180°-140°=40°，$

$120°-α$

解：$(1)$图形如图$1$所示：

$(2)②$结论：$FA=EF+FC；$

理由：在$FA$上截取$FG，$使得$FG=EF，$连接$EG，$$FC.$

$∵∠ABE=120°-α，$$∠BAD=α，$

$∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，$

$∵FG=EF，$

$∴△EFG$是等边三角形，

$∴EG=EF=FG，$$∠GEF=60°，$

$∴∠AEC=∠GEF，$

$∴∠AEG=∠CEF，$

在$△AEG $和$△CEF $中，

$\begin{cases}{EA=EC}\\{∠AEG=∠CEF}\\{EG=EF}\end{cases}$

$∴△AEG≌△CEF(\mathrm {SAS})，$

$∴AG=CF，$

$∴FA=FG+AG=FG+CF=EF+FC，$

即$FA=EF+FC.$

证明$：(1)∵AB=AC$

$∴∠ABC=∠ACB$

在$△BCD$和$△CBE$中

$\begin{cases}{BC=CB，}\\{∠DBC=∠ECB，}\\{BD=CE，}\end{cases}$

$∴△BCD≌△CBE(\mathrm {SAS})$

$∴∠FBC=∠FCB$

$∴BE=CF$

$(2)∵ AB=AC，∠BAC=45°，$

∴∠ABC=∠ACB=$\frac {1}{2}$(180°-∠BAC)=67.5°.

由$(1)，$知$∠FBC=∠FCB，$

$∴∠DBF=∠ECF.$

设$∠FBD=∠ECF=x，$

则$∠FBC=∠FCB=67.5°-x，$$∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°，∠DFB=2∠FBC=2(67.5°-x)=135°-2x.$

$∵△BFD$是等腰三角形，

故分三种情况讨论:① 当$BD=BF$时，此时$∠BDF=∠DFB，$

$∴x+45°=135°-2x，$得$x=30°，$即$∠FBD=30°；$

②当$BD=DF$时，此时$∠FBD=∠DFB，$

$∴x=135°-2x，$得$x=45°，$即$∠FBD=45°；$

③当$BF=DF$时，此时$∠FBD=∠FDB，$

$∴x=x+45°，$不符合题意，舍去.

综上所述，$∠FBD=30°$或$45°$

$$