解$：(2)$猜想：结论仍然成立.
证明：如图，延长$AC$至$E，$使$CE=BM，$连接$DE.$
$∵BM=CE，$$∠MBD=∠ECD=90°，$$BD=DC，$
$∴△MBD≌△ECD，$
$∴DM=DE，$$∠BDM=∠CDE，$
$∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°.$
∵在$△MDN$与$△EDN$中，$DM=DE，$$∠MDN=∠EDN，$$DN=DN，$
$∴△MDN≌△EDN，$
$∴MN=NE.$
$∵MN=NE，$$NE=NC+CE，$$CE=BM，$
$∴MN=NC+BM，$
$∴△AMN$的周长$Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB.$
$∵△ABC$的周长$L=3AB，$
$∴\frac {Q}{L}=\frac {2AB}{3AB}=\frac {2}{3}.$
$(3)$如图②，在$CN$上截取$CM_1=BM，$连接$DM_1.$
同$(2)，$可证$△DBM≌△DCM_1，$
$∴ BM=CM_1，$$DM=DM_1.$
同$(2)，$可证$∠M_1DN=∠MDN=60°，$
$∴ △MDN≌M_1DN. $
$∴ MN=M_1N.$
∴易得$NC-BM=MN$
