第93页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

120°

$4\sqrt {3}$

证明：如图，延长$AD$至点$E，$使得$DE=AB，$连接$CE$

∵$AC$平分$∠BAD，$$∠BAD=120°$

∴$ ∠CAB=∠CAD=60°$

∴$\widehat{ BC}=\widehat{CD}$

∴$ BC=CD$

∵ 四边形$ ABCD $为$⊙O$内接四边形

∴$∠ABC+ ∠ADC = 180°，$$ ∠BAD + ∠BCD = 180°$

∵$∠BAD=120°，$$∠ADC+∠CDE=180°$

∴$∠BCD=180°-∠BAD=60°，$$∠ABC=∠CDE$

∴$△ABC≌△EDC$

∴$ AC=CE$

∵$∠CAD=60°$

∴$△ACE$为等边三角形

∴$AC=AE=AD+DE$

∴$AC=AB+AD$

证明：$(1)$∵$AC=BC$

∴$∠BAC=∠B$

∵$DF//BC$

∴$∠ADF=∠B$

∴$∠BAC=∠ADF$

∵$∠BAC=∠CFD$

∴$∠ADF=∠CFD$

∴$ BD//CF$

∴四边形$DBCF$是平行四边形

$(2)$连接$AE$

∵$∠ADF=∠B，$$∠ADF=∠AEF，$

∴$∠AEF=∠B$

∵四边形$AECF$是$\odot O$的内接四边形

∴$∠ECF+∠EAF= 180°$

由$(1)$知，$BD//CF$

∴$∠ECF +∠B=180°$

∴$∠EAF=∠B$

∴$∠AEF=∠EAF$

∴$ AF= EF$

解：$ (1)$∵$∠DAB=90°$

∴$BD$为$\odot O$的直径，即$BD= 12$

∵$\widehat{AD}=\widehat{AB}$

∴$AD=AB$

∴$△ABD$为等腰直角三角形

∴易得$AB=\frac {\sqrt {2}}2BD=6\sqrt {2} $

$(2)$连接$BD，$过点$B$作$BH⊥AC$于点$H$

∵$∠DAB=90°$

∴$BD$为$\odot O$的直径，且$BD=\sqrt {AD^2+AB^2}=\sqrt {5^2+3^2}=\sqrt {34}$

∴$∠BCD=90°$

∵$AC$平分$∠DAB$

∴$∠BAC=∠DAC=45°$

∴$\widehat{BC}=\widehat{DC}$

∴$ BC= DC$

∴$△BCD$为等腰直角三角形

∴易得$BC=\frac {\sqrt {2}}2BD=\frac {\sqrt {2}}2×\sqrt {34}=\sqrt {17}$

在$Rt△ABH$中，∵$∠BAC=45°$

∴易得$AH=BH=\frac {\sqrt {2}}2AB=\frac {3\sqrt {2}}2$

在$Rt△BCH$中，由勾股定理，得$CH =\sqrt {BC^2-BH^2}=\sqrt {(\sqrt {17})^2-(\frac {3\sqrt {2}}2)^2}=\frac {5\sqrt {2}}2$

∴$AC=AH+CH=\frac {3\sqrt {2}}2+\frac {5\sqrt {2}}2=4\sqrt {2}$