解：$(1)△ABC$是等腰直角三角形
∵$AC$为$\odot O$为直径
∴$∠ADC=∠ABC=90°$
∵$∠ADB=∠CDB$
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$
∴$AB=BC$
又∵$∠ABC=90°$
∴$△ABC$是等腰直角三角形
$(2)$在$ Rt△ABC $中， ∵$ AB =BC= \sqrt {2}$
∴$ AC=\sqrt {AB²+BC²}=2$
在$Rt△ADC$中，$AD=1，$$AC=2$
∴$ CD=\sqrt {AC²-AD²}= \sqrt {3}$
∵$ ∠ADC=90°$
∴$ ∠ADB=∠CDB=45°$
过点$A$作$AE⊥BD$于点$E，$过点$C$作$CF⊥BD$于点$F$
则易得$△ADE $和$△CDF $是等腰直角三角形
∴ 易得$AE=\frac {\sqrt {2}}{2}AD=\frac {\sqrt {2}}{2}，$$CF=\frac {\sqrt {2}}{2}CD=\frac {\sqrt {6}}{2} $
∵$ S_{四边形ABCD}=S_{△ACD}+S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$
∴$\frac {1}{2}×1×\sqrt {3}+\frac {1}{2}×\sqrt {2}×\sqrt {2}= \frac {1}{2}×\frac {\sqrt {2}}{2}BD+\frac {1}{2}×\frac {\sqrt {6}}{2}BD$
∴$BD=\frac {\sqrt 2+\sqrt 6}2$
