解：$(1)$∵五边形$ABCDE$是正五边形
∴$∠ABC=\frac {(5-2)× 180°}{5}= 108°，$即$∠ABC$的度数为$108°$
$ (2) △AMN$是正三角形，理由：
如图，连接$ON，$$NF$
由题意，得$FN=OF，$$OF=ON$
∴$FN =ON =OF$
∴$△FON$是等边三角形
∴$∠NFA=60°$
∴$∠NMA=60°$
同理，可得$∠ANM =60°$
∴$∠MAN=60°$
∴$△MAN$是正三角形
$(3) $如图，连接$OD$
∵$∠AMN=60°$
∴$∠AON= 120°$
∵$∠AOD=\frac {360°}5×2= 144°$
∴$∠ NOD=∠AOD-∠AON= 144°- 120°= 24°$
∵$360°÷ 24°=15$
∴$ n$的值是$15$
