解：$(1)①$设$x_1、$$x_2$是一元二次方程$x^2-4x-5=0$的两个实数根
∴$x_1+x_2=4，$$x_1 ·x_2=-5$
∴$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt {(x_1+x_2 )^2-4x_1x_2}=\sqrt {4^2-4×(-5)}=6$
∴方程$x^2-4x-5=0$不是“差根方程”
②设$x_1、$$x_2$是一元二次方程$2x^2-2\sqrt {3}x+1=0$的两个实数根
∴$x_1+x_2=\sqrt {3}，$$x_1 ·x_2=\frac 12$
∴$|x_1-x_2|=\sqrt {(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt {(\sqrt 3)^2-4×\frac 12}=1$
∴方程$2x^2-2\sqrt {3}x+1=0$是“差根方程”
$(2)$解方程$x^2+2ax=0，$得$x_1=0，$$x_2=-2a$
∵关于$x$的方程$x^2+2ax=0$是“差根方程”
∴$|-2a|=1$
∴$a=±\frac 12$
$(3)$设$x_1、$$x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+1=0(a、$$b$是常数，$a＞0)$的两个实数根
∴$x_1+x_2=-\frac ba，$$x_1 ·x_2=\frac 1a$
∵关于$x$的方程$ax^2+bx+1=0(a、$$b$是常数，$a＞0)$是“差根方程”
∴$|x_1-x_2|=1$
∴$|x_1-x_2|=\sqrt {(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=1，$即$\sqrt {(-\frac ba)^2-4 ·\frac 1a}=1$
∴$b^2=a^2+4a$
