第139页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

解：$(1) $连接$ P B $

∵$A B $是$ \odot O $的直径，$ P $是$ \widehat{A B} $的中点

∴$\widehat{P A}=\widehat{P B}，$$ \angle A P B=90°$

∴$P A=P B$

又 ∵$A B=13$

∴易得$ P A=\frac {\sqrt {2}}{2}\ \mathrm {AB}=\frac {13 \sqrt {2}}{2} $

$(2) $连接$ B C，$$ O P，$$ P B ，$ 记$ O P $交$ B C $于点$ D $

∵$P $是$ \widehat{B C} $的中点

∴$O P \perp B C，$$ B D=C D $

又 ∵$O A= O B$

∴$O D=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C=\frac {5}{2} $

∵$O P=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B=\frac {13}{2}$

∴$P D=O P- O D=\frac {13}{2}-\frac {5}{2}=4$

∵$A B $是$ \odot O $的直径

∴$\angle A C B=90° $

∵$A B=13，$$ A C=5$

∴$B C=\sqrt {A B^2-A C^2}=12$

∴$B D= \frac {1}{2}\ \mathrm {B} C=6 $

∴在$ Rt \triangle P D B $中，$ P B=\sqrt {P D^2+B D^2}= \sqrt {4^2+6^2}=2 \sqrt {13}$

∵$A B $是$ \odot O $的直径

∴$\angle A P B=90° $

∴$P A=\sqrt {A B^2-P B^2}=\sqrt {13^2-(2 \sqrt {13})^2}=3 \sqrt {13} $

$(1)$证明： ∵$ ∠BAC=∠ADB，$$∠BAC=∠CDB$

∴$ ∠ADB=∠CDB$

∴$ DB$平分$∠ADC$

∵$ BD$平分$∠ABC$

∴$ ∠ABD=∠CBD$

∵ 四边形$ABCD$是圆内接四边形

∴$ ∠ABC+∠ADC=180°$

∴$ ∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°$

∴$ 2(∠ABD+∠ADB)=180°$

∴$ ∠ABD+∠ADB=90°$

∴$ ∠BAD=180°-90°=90°$

$(2)$解：∵$ ∠BAE+∠DAE=90°，$$∠BAE=∠ADE$

∴$∠ADE+∠DAE=90°$

∴$∠AED=90°$

∵$∠BAD=90°$

∴$ BD $是圆的直径

∴$ BD $垂直平分$AC$

∴$AD=CD$

∵$ AC=AD$

∴$ △ACD $是等边三角形

∴$∠ADC=60°$

∵$ BD⊥AC$

∴$ ∠BDC=\frac {1}{2}∠ADC=30°$

∵$CF//AD$

∴$∠F+∠BAD=180°$

∴$∠F=90°$

∵ 四边形$ABCD $是圆内接四边形

∴$ ∠ADC + ∠ABC = 180°$

∵$∠FBC+∠ABC = 180°$

∴$ ∠FBC = ∠ADC = 60°$

∴$∠FCB=30°$

∴$ BC=2BF=4$

∵$ BD $是圆的直径

∴$∠BCD=90°$

∵$∠BDC=30°$

∴$ BD=2BC=8$

∴ 圆的半径是$4$

解：$(1) \odot M $与$ x $轴相切，理由：

如图，连接$ C M $

∵$A C $平分$\angle O A M$

∴$\angle O A C=\angle C A M$

又 ∵$A M=M C$

∴$\angle C A M= \angle A C M $

∴$\angle O A C=\angle A C M$

∴$O A / / M C $

∵$O A \perp x $轴

∴$M C \perp x $轴

∵$C M $是$ \odot M $的半径

∴$\odot M $与$ x $轴相切

$(2) $如图，过点$ M $作$ M N \perp y $轴于点$ N ，$ 则$ A N=B N=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B $

∵$O A \perp x $轴，$ M C \perp x $轴，$ M N \perp y $轴

∴$\angle M C O=\angle A O C= \angle M N A=90° $

∴四边形$ M N O C $是矩形

∴$M N=O C，$$ M C= O N=5 $

设$ A O=m ，$ 则$ M N=O C=6-m$

∴$A N=5-m $

在$Rt \triangle A N M $中，由勾股定理，可知$ A M^2=A N^2+M N^2$

∴$5^2=(5-m)^2+(6-m)^2$

解得$m_1=2，$$m_2=9($不合题意，舍去)

∴$ AN=3$

∴$AB=6$

$(3)$如图，连接$AD$交$CM$于点$E$

∵$BD$是$\odot M$的直径

∴$∠BAD=90°$

∴$ AD//x$轴

∴$AD⊥MC$

∴易得四边形$OAEC$为矩形，$AE=DE$

∴$ AE=OC$

由$(2)，$可得$OC=4，$$OA=2$

∴点$C$的坐标为$(4，$$0)$

$AD= 2AE=2OC=8$

∴易得点$D$的坐标为$(8，$$- 2)$

设直线$CD$对应的函数解析式为$y=kx+b$

∴$\begin{cases}4k+b=0\\8k+b=- 2\end{cases} $解得$\begin{cases}{}k=-\dfrac 12\\b=2\end{cases}$

∴直线$CD$对应的函数解析式为$y=-\frac 12x+2$