解：$(1)$∵点$P$在二次函数的图象上
∴$2m=\mathrm {m^2}-2\ \mathrm {m^2}+\mathrm {m^2}-2$
解得$m=-1$
$(2)$易得点$P$在直线$y=2x$上
联立$\begin{cases}{y=2x}\\{y=x^2-2mx+\mathrm {m^2}-2}\end{cases}$
得$x^2-2(m+1)x+\mathrm {m^2}-2=0$
∴易得$△=4(m+1)^2-4(\mathrm {m^2}-2)=8m+12=0$
解得$m=-\frac 32$
$(3)$∵$y=x²-2mx+m²-2=(x-m)²-2$
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=m，$顶点坐标为$(m，$$-2)$
∴点$P(m，$$2m)$在对称轴上
∵ 点$Q$在对称轴上
∴$ PQ//y$轴
设$Q(m，$$n)$
∵点$E(\frac {1}{2}m，$$\frac {1}{2}m)$为矩形$PQMN $的对称中心
∴$ M(0，$$-m)，$$QM//x$轴，$PN//x$轴
∴$ Q(m，$$-m)$
∴$ N(0，$$2m)$
①当$m>0$时，如图①，∵抛物线与矩形$PQMN$的边恰有两个公共点
∴抛物线与$y$轴的交点在点$M$上方即可
在$y=x²-2mx+m²-2$中，当$x=0$时，$y=m²-2$
∴$\mathrm {m^2}-2>-m$
解得$m>1$或$m<-2($不合题意，舍去)
②当$m<0$时，如图②，同理，可知当抛物线与$y$轴的交点在点$N$的上方即可
∴$\mathrm {m^2}-2>2m$
解得$m<1-\sqrt {3}$或$m>1+ \sqrt {3}($不合题意，舍去)
综上所述，$m>1$或$m<1-\sqrt {3}$
