解：$(1)$∵$y=ax²-4ax-4=a(x-2)²-4a-4，$抛物线$W_{1}$有最低点
∴$a>0，$抛物线$W_{1}$开口向上，二次函数$y=ax²-4ax-4$的最小值为$-4a-4 $
$(2)$∵抛物线$W_{1}$对应的函数解析式为$y=a(x-2)²-4a-4$
∴平移后的抛物线$W_{2}$对应的函数解析式为$y=a(x-2-a)²-4a-4$
∴抛物线$W_{2}$的顶点坐标为$(a+2，$$-4a-4)$
∴$x=a+2，$$y=-4a-4$
∴$4x+y=4a+8-4a-4=4，$即$y=-4x+4$
∵$a>0，$$x=a+2$
∴$x>2$
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=-4x+4(x>2)$
$(3)$如图，在函数$y=-4x+4(x>2)$中
当$x=2$时，$y=-8+4=-4；$
当$x=4$时，$y=-16+4=-12$
∴$H$过点$(4，$$-12)$
在二次函数$y=a(x-2)²-4a-4$中，当$x=2$时，$y=-4a-4；$
当$x=4$时，$y=4a-4a-4=-4$
∴抛物线$W_{1}$恒过点$(4，$$-4)$
由图象，可知若抛物线$W_{1}$与$H$有交点$P，$则点$P $的纵坐标$n$的取值范围是$-12＜n＜-4$
