证明：$(1) $∵ 四边形$ABCD$是矩形
∴$ AB//CD$
∴$ ∠AED=∠EDC$
由旋转，得$CE=CD$
∴$ ∠CED=∠EDC$
∴$ ∠AED=∠CED$
∴$ ED$平分$∠AEC$
$ (2)$连接$CH$
∵ 四边形$FGCE$为矩形
∴$ FG//CE$
∴$ ∠FHE=∠BEC$
∵ 易得$∠F=∠EBC=90°，$$EF=CB$
∴$ △EFH≌△CBE$
∴$ EH=CE$
∵$ CE=CD$
∴$ EH=CD$
∵$ EH//CD$
∴ 四边形$EHCD$为平行四边形
∴$ CE$与$DH$互相平分
$(3)$解：过点$O$作$OM⊥CD$于点$M，$延长$MO$交$AB$于点$N，$则$∠DMN=90°$
∵$AB//CD$
∴$∠NEO=∠MCO$
由$(2)$可知$CE$与$DH$互相平分
∴$OE=OC$
又∵$ ∠EON=∠COM$
∴$ △EON≌△COM$
∴$NO=MO$
∵$∠A=90°，$$∠ADC=90°，$$∠DMN=90°$
∴四边形$ADMN$是矩形
∴$MN=AD=3$
∴$OM=\frac {1}{2}×3=\frac {3}{2}$
∴点$O$到$CD$的距离为$\frac {3}{2}$
