$(1)$证明：连接$EF$
∵$AE$平分$∠BAC$
∴$∠BAE=∠CAE$
∵$FE=FA$
∴$∠FEA=∠BAE$
∴$∠CAE=∠FEA$
∴$EF//AC$
∴$∠FEB=∠C=90°$
∴$ EF⊥BC$
又∵$EF$是$\odot F$的半径，
∴$BC$是$\odot F$的切线
解：$(2)$连接$FD$
∵点$A$的坐标为$(0，$$-1)，$点$D$的坐标为$(2，$$0)$
∴$ OA=1，$$OD=2$
设$\odot F$的半径为$R，$则$OF=R-1$
在$Rt△FOD$中，由勾股定理，得$OF^2+OD^2=FD^2$
∴$(R-1)^2+2^2=R^2$
解得$R=2.5$
∴$\odot F$的半径为$2.5 $
$(3)\ \mathrm {AG}=AD+2CD$
过点$ E$作$EM⊥AG，$垂足为$M$
∵$∠C=90°$
∴$EC⊥AC$
又∵$AE$平分$∠BAC，$$EM⊥AG$
∴$EM=EC$
在$Rt△AEM$和$Rt△AEC$中
$\begin{cases}AE=AE\\EM= EC\end{cases}$
∴$ Rt△AEM≌Rt△AEC$
∴$ AM= AC$
∴$ AG-MG=AD+CD$
连接$GE，$$ED$
∵$∠BAE=∠CAE$
∴$\widehat{EG}=\widehat{ED}$
∴$EG= ED$
又∵$ EM= EC$
∴$Rt△GEM≌Rt△DEC$
∴$MG=CD$
∴$ AG- CD= AD+CD，$即$AG=AD +2CD$
