第23页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

解：$(1)$在$△AEB$和$△DEC$中

$\begin{cases}{∠A=∠D}\\{AE=DE}\\{∠AEB=∠DEC}\end{cases}$

∴$△AEB≌△DEC$

∴$BE=CE$

又∵$BC=CE$

∴$BE=CE=BC$

∴$△EBC$是等边三角形

∴$∠ACB=60°$

$(2)$过点$B$作$BM⊥AC$于点$M$

∵$OF⊥AC $

∴$AF=CF$

∵$△EBC$是等边三角形

∴$∠GEF=∠BCM=60°$

∴$∠EGF=30°$

∵$EG=2$

∴$EF=1$

又∵$DE=AE=3$

∴$CF=AF=AE+EF=4$

∴$AC=8，$$CE=5$

∴$BC=5$

∵$∠BCM=60°$

∴$∠MBC=30°$

∴$CM=\frac 12BC=\frac 52$

∴易得$BM=\frac {5\sqrt {3}}2$

∴$AM=AC-CM=\frac {11}2$

∴$AB=\sqrt {AM^2+BM^2}=7$

$(1)$证明：如图，连接$OE$

∵$AC$切半圆$O$于点$E$

∴$OE⊥AC$

∵$OF⊥BC，$$∠C=90°$

∴$∠OEC=∠OFC=∠C=90°$

∴四边形$OFCE$是矩形

∴$OF=EC$

$(2)$∵$BD=2$

∴$OE=\frac 12BD=\frac 12×2=1$

∵$∠A=30°，$$OE⊥AC$

∴$AO=2OE=2×1=2$

∴$AD=AO-DO=2-1=1 $

$(1)$证明：如图，连接$AO$并延长，交$BC$于点$F$

∵$ ⊙O$是$△ABC$的外接圆

∴$ O$是$△ABC$三边的垂直平分线的交点

∵$ AB=AC$

∴$ AO⊥BC$

∵$ AE//BC$

∴$ AO⊥AE$

∵$ AO$是$⊙O$的半径

∴$ AE$是$⊙O$的切线

$(2)$解：如图，连接$OC$

∵$ AB=AC$

∴$ ∠ABC=∠ACB=75°$

∴$ ∠BAC=180°-2×75°=30°.$

∴$ ∠BOC=2∠BAC=60°$

∵$ OB=OC$

∴$ △BOC$为等边三角形

∴$ OC=OB=BC=2$

∵$ ∠COD=180°-∠BOC=120°$

∴$\widehat{ CD}$的长为$ \frac {120×2π}{180} = \frac {4π}{3}$