$(1)$证明：∵$△=[-(2m+1)]^2-4(\mathrm {m^2}+m)=4\ \mathrm {m^2}+4m+1-4\ \mathrm {m^2}-4m=1＞0$
∴无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根
$(2)$解：由根与系数的关系，可知$a+b=2m+1，$$ab=m²+m$
∵$ (2a+b)(a+2b)=2a²+4ab+ab+2b²=2(a+b)²+ab$
∴$2(a+b)²+ab=20$
∴$2(2m+1)²+m²+m=20$
∴$m²+m-2=0$
解得$m_{1}=-2，$$m_{2}=1$
∴$m$的值为$-2$或$1$
