$(1)$证明：∵将$AD$绕点$A$按顺时针方向旋转$50°$能与线段$AE$重合
∴$AD=AE，$$∠DAE=50°$
∴$∠BAC=∠DAE$
∴$∠BAC-∠BAD=∠DAE-∠BAD，$即$∠CAD=∠BAE$
在$△ACD$和$△ABE$中
$\begin{cases}AC=AB\\∠CAD=∠BAE\\AD=AE\end{cases}$
∴$△ACD≌△ABE$
∴$CD=BE$
$(2)$∵$△ACD≌△ABE$
∴$∠ADC=∠AEB$
∵$∠ADC=115°$
∴$∠AEB=115°$
∵$AD=AE，$$∠DAE=50°$
∴$∠AED=\frac 12×(180°-50°)=65°$
∴$∠BED=∠AEB-∠AED=50°$
