$(1) $解：∵$∠ABC=120°$
∴$∠ABA_1=∠CBC_{1}= 180°-∠ABC =180°- 120°=60°$
∴旋转角为$60°$
$ (2) $证明：由题意，得$△ABC≌△A_1BC_1$
∴$AB=A_1B，$$∠C=∠C_1$
由$(1)，$知$∠ABA_1=60°$
∴$△A_1AB$是等边三角形
∴$∠BAA_1=60°$
∴$∠BAA_1=∠CBC_1$
∴$AA_1//BC$
∴$∠A_1AC=∠C$
∴$∠A_1AC=∠C_1$
