解：$(1)$连接$AO$
∵$△ABC$为等边三角形
∴$AB=BC=AC$
∴$∠AOB=∠AOC=∠BOC$
∴$∠BOC=\frac 13×360°=120°$
$(2)$过点$O$作$OD⊥AB$于点$D$
由$(1)$得$∠AOB=120°$
∵$OA=OB$
∴$∠ABO=30°$
∴$OD=\frac 12OB$
∵$OD⊥AB$
∴$BD=\frac 12AB=\frac 12×6=3$
在$Rt△BDO$中，由勾股定理得$BD^2+OD^2=OB^2$
即$3^2+(\frac 12OB)^2=OB^2$
解得$OB=2\sqrt {3}($负值舍去)
∴$\odot O$的半径为$2\sqrt {3}$
