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解：​$(1)$​当滑动变阻器​$R_{3}$​的滑片​$P_{调到}$​最左端，闭合开关​$S_{1}$​、​$S_{2}$​时电阻​$R$​、​$R_{2}$​并联，​$U=U_{2}=U_{1}=3\ \mathrm {V}$​，​$I_{2}=\frac {U_{2}}{R_{2}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}}=0.3\ \mathrm {A}$​，​$I_{1}=I-I_{2}=0.5\ \mathrm {A}-0.3\ \mathrm {A}=0.2\ \mathrm {A}$​，​$R_{1}=\frac {U_{1}}{I_{1}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{0.2\ \mathrm {A}}=15\ \mathrm {Ω} $​

​$(2)$​只闭合开关​$S_{1}$​，滑动变阻器​$R_{3}$​的滑片​$P_{调到}$​最右端时，​$R_{1}$​与​$R_{3}$​的最大电阻串联，​$I'=\frac {U}{R_{1}+R_{3}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{15\ \mathrm {Ω}+30\ \mathrm {Ω}}=\frac {1}{15}\ \mathrm {A}$​，​$U_{1}'=I'R_{1}=\frac {1}{15}\ \mathrm {A}×15\ \mathrm {Ω}=1\ \mathrm {V} $​

​$(3)$​只闭合开关​$S_{1}$​时，​$R_{2}$​与​$R_{3}$​串联，当滑动变阻器的电阻最小，即为​$0$​时，电路中的电流最大，​$I_{最大}=\frac {U}{R_{2}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}}=0.3\ \mathrm {A}$​

解：​$(1)$​只闭合开关​$S_{1}$​时，只有​$R_{1}$​连入电路，电源电压​$U=I_{1}R_{1}=0.9\ \mathrm {A}×10\ \mathrm {Ω}=9\ \mathrm {V} $​

​$(2)$​开关​$S_{1}$​、​$S_{2}$​、​$S_{3}$​都闭合时，滑动变阻器短路，​$R_{1}$​与​$R_{2}$​并联，通过​$R_{2}$​的电流​$I_{2}=I-I_{1}=1.5\ \mathrm {A}-0.9\ \mathrm {A}=0.6\ \mathrm {A}$​，​$R_{2}$​的阻值​$R_{2}=\frac {U}{I_{2}}=\frac {9\ \mathrm {V}}{0.6\ \mathrm {A}}=15\ \mathrm {Ω} $​

​$(3)$​只闭合开关​$S_{3}$​时​$R_{1}$​、​$R_{3}$​串联，由滑动变阻器规格可知，其允许通过的最大电流为​$0.5\ \mathrm {A}$​，此时​$R_{1} $​两端的电压最大，则​$U_{最大}=I_{最大}R_{1}=0.5\ \mathrm {A}×10\ \mathrm {Ω}=5\ \mathrm {V} $​；当滑片在最左端时，滑动变阻器连入电路的阻值最大，电路中的电流最小，此时​$R_{1}$​两端的电压最小，​$I_{最小}=\frac {U}{R_{1}+R_{3}}=\frac {9\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}+20\ \mathrm {Ω}}=0.3\ \mathrm {A}$​，所以​$U_{1最小}=I_{最小}R_{1}=0.3\ \mathrm {A}×10\ \mathrm {Ω}=3\ \mathrm {V}$​，所以电路安全时​$R_{1}$​两端的电压变化范围是​$3\sim 5\ \mathrm {V}$​