解：$(1)$若开关$S_{2}$断开、$S_{1}$闭合，滑片$P_{滑到}a$端时，$R_{1}$与滑动变阻器$R $的最大阻值串联，$R_{2}$断路，电源电压$U=I(R_{1}+R)=0.3\ \mathrm {A}×(10\ \mathrm {Ω}+30\ \mathrm {Ω})=12\ \mathrm {V} $
$(2)$若开关$S_{1}$、$S_{2}$均闭合，当滑片$P_{滑到}b$端时，$R_{1}$与$R_{2}$并联，所以，$I_{1}=\frac {U}{R_{1}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}}=1.2\ \mathrm {A}$，$I_{2}=I'-I_{1}=1.3\ \mathrm {A}- 1.2\ \mathrm {A}=0.1\ \mathrm {A}$，$R_{2}=\frac {U}{I_{2}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{0.1\ \mathrm {A}}=120\ \mathrm {Ω} $
$(3)$开关$S_{2}$断开、$S_{1}$闭合时，$R_{1}$与$R_{串联}$，因电流表的量程为$0\sim 0.6\ \mathrm {A}$，滑动变阻器允许通过的最大电流为$1.5\ \mathrm {A}$，所以，电路中的最大电流为$0.6\ \mathrm {A}$，此时滑动变阻器接入电路中的电阻最小，$R_{总}=\frac {U}{I_{大}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{0.6\ \mathrm {A}}=20\ \mathrm {Ω}$，$R_{小}=R_{总}-R_{1}=20\ \mathrm {Ω}-10\ \mathrm {Ω}=10\ \mathrm {Ω}$
