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第167页

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$解：(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形$

$∴AB=AC=BC=4，$

$∠BAC= ∠B=∠ACB=∠DAE=60°，$

$AD=AE$

$∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，$

$即∠BAD=∠CAE$

$∴△ABD≌△ACE(\mathrm {SAS})$

$∴BD=CE=1$

$∴CD=BC-BD=4-1=3$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(3)EG的最小值为2\sqrt 3$

$解：[探索1]如图①，作△ABC的角平分线AD，$

$在AB上取点C，使 AC =AC，连接C'D$

$∴∠CAD= ∠C'AD$

$在△ACD 和△AC'D 中$

$\begin{cases}AC=AC'\\∠CAD=∠C'AD\\AD=AD\end{cases}$

$∴△ACD≌△AC'D(\mathrm {SAS})$

$∴∠ACD=∠AC'D$

$∵∠AC'D=∠B+∠BDC'$

$∴∠AC'D＞∠B$

$∴∠C＞∠B$

$[探索2]这个结论一定成立，证明：$

$如图，设AB＞AC$

$∵AH是△ABC的高$

$∴AH⊥ BC$

$∴∠AHB=∠AHC=90°$

$∴∠BAH= 90°-∠ABH，$

$∠CAH=90°-∠C$

$∵AB＞ AC$

$∴∠C＞ ∠B$

$∴∠CAH＜ ∠BAH$

$∵AD平分∠BAC$

$∴点D在点H的左侧$

$∵D H 延长AM到点E，使AM=EM，连接BE$

$∵AM是△ABC 的中线$

$∴CM=BM$

$在 △ACM和△EBM中$

$\begin{cases}AM=EM\\∠AMC=∠EMB\\CM=BM\end{cases}$

$∴△ACM≌△EBM(\mathrm {SAS})$

$∴AC=BE，∠CAM=∠BEM$

$∵AB＞AC$

$∴AB＞BE$

$∴∠BEM＞∠BAM$

$∴∠CAM＞∠BAM$

$∵AD平分∠BAC$

$∴点D在点M的右侧$

$综上，点D在直线BC上的位置始终处于$

$点M和点H之间$

$证明：(2)在CA上截取CH=CD，连接EH$

$∵△ABC和△ADE是等边三角形$

$∴AB=AC，$

$∠BAC=∠B=∠ACB=∠DAE=60°$

$AD=AE=DE$

$∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，$

$即∠BAD=∠CAE$

$∴△ABD≌△ACE(\mathrm {SAS})$

$∴∠B=∠ACE=60°$

$∴∠DCE=180°-∠ACB-∠ACE$

$=180°-60°-60° =60°$

$∴∠HCE= ∠DCE$

$∵CH=CD，CE=CE$

$∴△HCE≌△DCE(\mathrm {SAS})$

$∴HE=DE$

$∴AE=HE$

$∵EF⊥AC$

$∴∠EFA=∠EFH=90°$

$又∵EF=EF$

$∴Rt△AEF≌Rt△HEF(\mathrm {HL})$

$∴AF=HF$

$∵CF=HF+CH$

$∴CF=AF+CD$

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