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$解：(1)在y=-2x-2中，令x=0得y=-2，令y=0得x=-1$

$∴A(-1，0)，B(0，-2)$

$(2)①存在点Q，使D正好为PQ 的中点，理由：设Q(1，0)$

$∵D(-1，1)是PQ 的中点，∴P(-2-t，2)$

$把P(-2-1，2)代入y=-2x-2$

$得2=-2(-2-t)-2，解得t=0，∴Q(0，0)$

$②过B作BK⊥AB交PQ 于K，过P、K作PF、KG 与$

$y轴平行，过B作BF 平行于x轴交PF 于F，交KG 于G$

$∵∠APD=45°，∴∠DKB=45°，∴PB=BK$

$∵∠PBF=90°-∠KBG=∠BKG，∠F=∠G=90°$

$∴△PFB≌△BGK(\mathrm {AAS})，∴PF=BG，FB=KG$

$设PF=BG=m，FB=KG=n$

$∴点P(-n，m-2)，K(m，n-2)$

$∵PB⊥BK，∴设直线BK的表达式为y=\frac{1}{2}x+b$

$把点B(0，-2)代入上式，得-2=\frac{1}{2}×0+b，解得b=-2$

$∴直线BK的表达式为y=\frac{1}{2}x-2$

$将点K(m，n-2)代入y=\frac{1}{2}x-2，得n-2=\frac{1}{2}m-2$

$∴m=2n，∴P(-n，2n-2)，K(2n，n-2)$

$设直线PQ 的表达式为y=k'x+b'$

$∴\begin{cases}{2n-2=-nk'+b'}\\{n-2=2nk'+b'}\end{cases}$

$∴k'=-\frac{1}{3}$

$∴直线PQ 的表达式为y=-\frac{1}{3}x+b'$

$∴把D(-1，1)代入，得1=\frac{1}{3}+b'，解得b'=\frac{2}{3}$

$∴直线PQ 的表达式为y=-\frac{1}{3}+\frac 23$

$(3)直线PQ的表达式为y=x+2$

$解：(1)对于一次函数y=2x+4，$

$令y=0，则有0=2x+4，解得x=-2$

$∴点 A(-2，0)$

$∴OA=2$

$∵OC=2OA=2×2=4$

$∴C(4，0)$

$对于一次函数y=2x+4$

$令x=0，则y=4，∴B(0，4)$

$设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)$

$将点 B(0，4)，C(4，0) 代入，$

$可得\begin{cases}{4=b}\\{0=4k+b}\end{cases}，解得\begin{cases}{k=-1}\\{b=4}\end{cases}$

$∴直线BC的表达式为y=-x+4$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：(2)①根据题意，过点M作y轴的平行线，$

$交直线AB于点P，交直线 BC于点Q$

$当点M在x轴负半轴时$

$可设M(a，0)(a＜0)$

$则P(a，2a+4)，则Q(a，-a+4)$

$∴PQ=12a+4-(-a+4) =| 3a |=-3a$

$∵△PQB的面积为\frac{8}{3}，B(0，4)$

$∴S_{△PQB}=\frac{1}{2}PQ\ \cdot\ |a |$

$=\frac{1}{2}×(-3a)×(-a)$

$=\frac{3}{2}a²=\frac{8}{3}$

$解得a=\frac{4}{3}(舍去)或a=-\frac{4}{3}$

$此时M(-\frac{4}{3}，0)\ $

$当点M在x轴正半轴时$

$可设M(a，0)(a＞0)$

$则P(a，2a+4)，则Q(a，-a+4)$

$∴PQ=|2a+4-(-a+4)|= |3a|=3a$

$∵△PQB的面积为\frac{8}{3}，B(0，4)$

$∵S_{△PQB}=\frac{1}{2}PQ\ \ \cdot\ | a |$

$=\frac{1}{2}×3a×a$

$=\frac{3}{2}a²=\frac{8}{3}$

$解得a=\frac{4}{3}或a=-\frac{4}{3}(舍去)$

$此时M(\frac{4}{3}，0)$

$综上所述，点M的坐标为(-\frac{4}{3}，0)或(\frac{4}{3}，0)\ $

$②由(1)可知，A(-2，0)，B(0，4)，C(4，0)$

$∴OB=OC=4$

$又∵∠BOC=90°$

$∴∠OBC=∠OCB=\frac{1}{2}(180°-∠BOC)=45°$

$可分两种情况讨论：$

$当∠MBO=∠ABO时$

$可有∠MBC+∠ABO= ∠MBC+∠MBO$

$=∠OBC=45°$

$在△ABO 和△MBO 中$

$\begin{cases}∠ABO=∠MBO\\BO=BO\\∠AOB=∠MOB\end{cases}$

$∴△ABO≌△MBO(\mathrm {ASA})$

$∴OM=OA=2$

$∴M(2，0)$

$当∠M'BC=∠MBC时，过点C作CK⊥OM'，$

$交BM'于点K$

$可有∠M'BC+∠ABO$

$=∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°$

$∵∠M'BC+∠BM'O=∠OCB=45°，∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°$

$∴∠M'BC+∠BM'O=∠MBC+∠MBO，∴∠BM'O=∠MBO=∠ABO$

$∵∠BM'O+∠CKM' =∠MBO+∠OMB=90°$

$∴∠CKM '= ∠OMB$

$∵∠CKM'+∠BKC=∠OMB+∠BMC=180°$

$∴∠BKC=∠BMC$

$\ 在△BMC和△BKC中$

$\begin{cases}∠MBC=∠KBC\\∠BMC=∠BKC\\BC=BC\end{cases}$

$∴△BMC≌△BKC(\mathrm {AAS})$

$∴KC=MC=4-2=2$

$在△OBM和△CM'K中$

$\begin{cases}∠OBM=∠CM'K\\∠BOM=∠M'CK\\OM=CK\end{cases}$

$∴△OBM≌△CM'K(\mathrm {AAS})$

$∴CM'=OB=4$

$∴OM'=OC+CM'=4+4=8$

$∴M'(8，0)$

$综上所述，当∠MBC+∠ABO=45°时，$

$点M的坐标为(2，0)或(8，0)$