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AB+BD=DE

$证明：连接DE$

$∵MN是线段AD的垂直平分线$

$∴CA=CD，EA= ED$

$在△BDE中，DB\lt ED+ BE$

$即AC+ BC\lt AE+ BE$

$\ 证明：连接AF$

$∵DF 是线段AB的垂直平分线$

$∴AF= BF$

$同理可得AF= FC$

$∴BF=FC$

$证明：连接AE，CE$

$∵AC，BD的垂直平分线相交于点E$

$∴AE=CE，BE=DE$

$在△ABE和△CDE中$

$\begin{cases}{AB=CD }\\{AE=CE}\\ {BE=DE} \end{cases}$

$∴△ABE≌△CDE(\mathrm {SSS})$

$∴∠ABE=∠CDE$

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