$解：(2)证明：在x轴上截取AH= BE，连CH，EF$
$由(1)可得∠CAH=∠ABE$
$∵AC= AB，AH=BE$
$∴△CAH≌△ABE(\mathrm {SAS})$
$∴CH=AE，∠BEA=∠CHA$
$在等腰直角△AEF 中，AE=AF，∠EAF=90°$
$∴∠EAO+∠FAO= 90°$
$又∵∠EAO+∠AEO= 90°，∴∠AEO=∠ FAO$
$∴∠AEB=∠FAG$
$∴∠ FAG=∠CHG$
$又∵CH=AE= AF，∠CGH=∠FGA，∴△FAG≌△CHG(\mathrm {AAS})$
$∴CG= FG，即G是FC的中点$
$(3)由平移的性质，设直线A'B'的函数表达式为y=-\frac{4}{3}x+m$
$当x=0时，y=m，当y=0时，x=\frac{3}{4}m$
$∴M点坐标为(0，m)，A'点坐标为(\frac{3}{4}m，0)$
$又∵OA=3，OB=4$
$∴AB=5，BM=4-m$
$当以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形时：$
$①当AM= BM时，3²+m²=(4-m)²，解得m=\frac{7}{8}$
$此时点A'的坐标为(\frac{21}{32}，0)$
$②当AM=AB时，3²+m²=5²，解得m=4(与点B重合，舍去)或m=-4$
$此时点A'的坐标为(-3，0)$
$③当AB= BM时，4-m=5，解得m=-1$
$此时点A'的坐标为(-\frac{3}{4}，0)$
$综上，点A'的坐标为(\frac{21}{32}，0)或(-3，0)或(-\frac{3}{4}，0)$
